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第11章 无穷级数1

11.1 常数项级数1

11.1.1 复数列的极限1

11.1.2 级数的概念2

11.1.3 无穷级数的性质4

习题11.18

11.2 正项级数及其审敛8

习题11.215

11.3 交错级数与任意项级数16

11.3.1 交错级数及其收敛判别法16

11.3.2 绝对收敛与条件收敛18

习题11.323

11.4 函数项级数24

11.4.1 函数项级数和一致收敛24

11.4.2 复函数项级数的性质26

习题11.430

11.5 幂级数30

11.5.1 幂级数的概念与Abel定理30

11.5.2 幂级数的收敛圆和收敛半径32

11.5.3 实幂级数及其收敛区间34

11.5.4 幂级数的运算性质36

习题11.540

11.6 Taylor级数与函数的幂级数展开41

11.6.1 Taylor级数42

11.6.2 函数展开为幂级数44

11.6.3 实函数的幂级数展开与Taylor公式49

习题11.652

11.7 Laurent级数53

11.7.1 含负幂的幂级数53

11.7.2 Laurent级数54

11.7.3 把环形域的解析函数展开为Laurent级数57

习题11.759

11.8 Fourier级数60

11.8.1 三角函数系在空间L2［-π，π］的正交性60

11.8.2 函数展开为Fourier级数64

11.8.3 函数展开为正弦级数或余弦级数69

11.8.4 一般周期函数的Fourier级数72

11.8.5 Fourier级数的复数形式76

习题11.879

第11章综合练习题80

第12章 留数83

12.1 孤立奇点83

12.1.1 孤立奇点及其分类83

12.1.2 解析函数在孤立奇点处的极限性态85

12.1.3 解析函数的零点与极点的关系86

12.1.4 函数在无穷远点的性态89

习题12.191

12.2 留数与留数定理92

12.2.1 留数的概念与计算92

12.2.2 留数定理97

12.2.3 外部区域的留数定理99

12.2.4 留数定理的推广101

习题12.2105

12.3 留数在计算积分的应用106

12.3.1 计算围道积分106

12.3.2 计算形如？（cosθ，sinθ）dθ的积分107

12.3.3 计算形如？f(x)dx的积分109

12.3.4 计算形如？f(x)eiax dx（α＞0）的积分110

12.3.5 积分路径上有极点的积分113

习题12.3115

12.4 幅角原理和Rouche定理115

12.4.1 对数留数115

12.4.2 幅角原理117

12.4.3 Rouche定理119

习题12.4121

第12章 综合练习题122

第13章 积分变换123

13.1 Fourier变换123

13.1.1 Fourier变换的概念123

13.1.2 单位脉冲函数及其Fourier变换128

13.1.3 Fourier余弦变换和正弦变换135

习题13.1137

13.2 Fourier变换的性质138

13.2.1 Fourier变换的若干基本性质138

13.2.2 卷积定理143

13.2.3 微分性质和积分性质146

习题13.2148

13.3 Laplace变换149

13.3.1 Laplace变换的概念150

13.3.2 Laplace变换存在定理151

13.3.3 Laplace逆变换155

习题13.3158

13.4 Laplace变换的性质159

13.4.1 Laplace变换的若干基本性质159

13.4.2 Laplace变换的微分性质与积分性质161

13.4.3 Laplace变换的卷积定理165

习题13.4168

13.5 Fourier变换与Laplace变换的应用169

13.5.1 求解微分方程的积分变换法169

13.5.2 求解积分方程和卷积型方程174

13.5.3 利用积分变换计算积分179

13.5.4 Fourier变换在频谱分析的应用181

13.5.5 线性系统的传递函数183

13.5.6 关于积分变换的若干注记187

习题13.5190

第13章综合练习题191

第14章 数学物理方程193

14.1 基本方程和定解条件的推导193

14.1.1 热传导方程及其定解条件193

14.1.2 电磁场方程197

14.1.3 传输线方程199

14.1.4 定解问题的提法201

习题14.1203

14.2 分离变量法与特征函数203

14.2.1 齐次方程和齐次边界条件的定解问题的求解204

14.2.2 非齐次方程齐次边界条件的定解问题的求解209

14.2.3 非齐次边界条件的处理215

习题14.2218

14.3 Sturm-Liouville理论介绍 Bessel函数和Legendre多项式220

14.3.1 Sturm-Liouville理论介绍220

14.3.2 Bessel函数介绍228

14.3.3 Legendre多项式介绍233

习题14.3236

14.4 极坐标系下的分离变量法（二维方程的分离变量法）237

14.4.1 圆域内二维Laplace方程的定解问题237

14.4.2 环形域上Poisson方程的边值问题的求解举例242

习题14.4245

14.5 波动方程245

14.5.1 一维波动方程的D'Alembert公式245

14.5.2 积分变换法推导D'Alembert公式247

14.5.3 三维波动方程的Poisson公式248

14.5.4 泊松公式的物理意义253

习题14.5255

14.6 Green函数255

14.6.1 Laplace方程的Green函数255

14.6.2 球域的Green函数258

14.6.3 基本解259

习题14.6260

部分习题参考答案261

参考文献274

附录Ⅰ Fourier变换简表275

附录Ⅱ Laplace变换简表279

附录Ⅲ 数学实验纲要283

索引285