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一 神奇的同伦方法：库恩多项式求根算法1

1.1 多项式方程求根的魔术植物栽培算法1

1.1.1 库恩算法探胜2

1.1.2 库恩算法经济吗？8

1.1.3 库恩算法的内涵9

1.2 有益的讨论：正四面体能填满空间吗？14

1.2.1 正三角形可以铺满平面15

1.2.2 正四面体可以把空间填满吗？16

1.2.3 算一下正四面体的二面角17

1.2.4 问题的应用价值18

1.3 同样有趣的问题：圆周铺不满平面，却能充满整个空间19

1.3.1 铺填问题19

1.3.2 圆周铺不满平面20

1.3.3 试试用球面填空间21

1.3.4 借用一直线，圆周即可充填空间22

1.3.5 圆周巧填空间23

二 算法的成本理论25

2.1 数值计算的复杂性问题25

2.1.1 惊人的成本：可怕的指数增长——古印度数学故事26

2.1.2 算法的目标：寻求多项式时间算法32

2.2 斯梅尔对牛顿算法计算复杂性的研究37

2.2.1 代数基本定理与计算复杂性问题37

2.2.2 经典的算法：多项式求根的牛顿算法40

2.2.3 难于驾驭的牛顿方法：牛顿方法什么时候听话？45

2.2.4 斯梅尔的创造：概率论定牛顿算法是多项式时间算法51

2.2.5 非凡的进步：从最坏情形分析到概率情形分析57

2.3 库恩算法的计算复杂性61

2.3.1 库恩多项式零点算法的计算复杂性62

2.3.2 积木结构的成本估计64

2.3.3 引理的初等证明66

2.3.4 算法之比较和配合69

2.4 数值计算复杂性理论的环境与进展73

2.4.1 影响巨大的斯梅尔学派74

2.4.2 数值计算复杂性讨论的学科环境75

2.4.3 数值计算方法及其复杂性讨论的动力系统框架77

2.4.4 经典的牛顿型迭代79

2.4.5 一般收敛算法82

2.4.6 数值计算方法的相关进展与前沿课题83

三 单纯同伦方法的可行性85

3.1 连续同伦方法和单纯同伦方法86

3.2 整数标号的单纯同伦方法89

3.2.1 渐细单纯剖分89

3.2.2 （0,1]×R的渐细单纯单纯剖分93

3.2.3 整数标号和全标三角形94

3.2.4 互补转轴算法94

3.2.5 同伦的过程96

3.2.6 整数标号单纯同伦算法的可行性97

3.3 向量标号单纯同伦算法的翼状伸延道路98

3.3.1 整数标号单纯同伦算法和向量标号单纯同伦算法98

3.3.2 向量标号与完备单纯形99

3.3.3 零点集的困难102

3.3.4 理想化假设和小扰动技巧104

3.3.5 n阶挠曲线揭真谛107

3.3.6 完备单形都恰有一对完备界面109

3.3.7 非退化直纹面片110

3.3.8 翼状二维结构使道路畅通112

3.3.9 转轴运算114

四 连续同伦方法的应用实例：多复变罗歇定理的证明117

4.1 同伦方法依据的基本定理117

4.2 多复变罗歇定理证明的同伦方法121

4.2.1 将f调整为正则映照124

4.2.2 同伦的设计125

4.2.3 曲线在柱体内单调伸延126

4.3 同伦方法的启示128

五 同伦方法的经济学背景：一般经济均衡理论132

5.1 一般经济均衡理论与诺贝尔经济学奖132

5.1.1 纯交换经济一般均衡模型133

5.1.2 瓦尔拉斯法则与帕累托最优解137

5.1.3 两位经济学诺贝尔奖获得者145

5.2 同伦方法的经济学应用背景155

六 同伦方法的传奇人物：斯梅尔，斯卡夫和李天岩177

6.1 富有传奇色彩的斯梅尔177

6.1.1 斯梅尔的青少年时代177

6.1.2 斯梅尔的学术生涯184

6.2 斯卡夫与单纯不动点算法200

6.3 博士生李天岩的开创性贡献211

6.3.1 开创混沌理论211

6.3.2 开创连续同伦方法217

6.4 结束语：杨振宁教授谈学问之道224

附录228

附录1 映像度机器算法平话228

附录2 阿罗不可能定理溯源236

参考文献245