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第1章 线性空间与线性变换1

1.1 线性空间的概念1

1.2 基变换与坐标变换4

1.2.1 线性空间的基与坐标4

1.2.2 基变换与坐标变换5

1.3 子空间与维数定理7

1.3.1 线性子空间的定义及其性质7

1.3.2 子空间的交与和9

1.3.3 子空间的直和10

1.4 线性变换的概念11

1.4.1 线性变换及其运算11

1.4.2 线性变换的性质13

1.5 线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量13

1.5.1 线性变换的矩阵表示13

1.5.2 相似矩阵的几何解释16

1.5.3 特征值与特征向量19

1.5.4 线性变换的不变子空间21

习题122

第2章 内积空间24

2.1 内积空间的概念24

2.2 正交基及正交补与正交投影26

2.2.1 正交基26

2.2.2 正交补与正交投影28

2.3 正交变换与对称变换29

2.3.1 正交变换与正交矩阵29

2.3.2 对称变换与对称矩阵30

2.4 复内积空间（酉空间）31

2.5 正规矩阵与Hermite二次型32

习题234

第3章 矩阵的相似标准形36

3.1 λ-矩阵及其Smith标准形36

3.1.1 λ-矩阵的基本概念36

3.1.2 λ-矩阵的初等变换与等价37

3.2 λ-矩阵的等价标准形39

3.3 λ-矩阵的行列式因子和初等因子41

3.4 矩阵的初等因子44

3.5 矩阵的Jordan标准形48

3.6 Hamilton-Cayley定理与最小多项式52

习题355

第4章 矩阵分解57

4.1 矩阵的三角分解57

4.1.1 Gauss消元法的矩阵形式57

4.1.2 矩阵的三角分解59

4.1.3 其它三角分解61

4.2 矩阵的满秩分解62

4.3 矩阵的QR分解65

4.4 矩阵的Schur定理与谱分解67

4.5 矩阵的奇异值分解68

习题473

第5章 矩阵分析74

5.1 向量范数74

5.1.1 向量范数的概念74

5.1.2 向量范数的性质76

5.1.3 向量范数的等价性76

5.2 矩阵范数76

5.3 向量序列与矩阵序列的极限78

5.3.1 向量序列的极限78

5.3.2 矩阵序列的极限79

5.4 函数矩阵的微分与积分80

5.4.1 函数矩阵的导数与微分80

5.4.2 函数矩阵的积分82

5.5 矩阵的幂级数83

5.5.1 矩阵级数83

5.5.2 方阵的幂级数84

5.6 矩阵函数86

5.6.1 矩阵函数的定义与性质86

5.6.2 矩阵函数的计算方法87

5.7 矩阵分析的一些应用94

5.7.1 一阶常系数齐次线性微分方程组的解94

5.7.2 一阶常系数非齐次线性微分方程组的解96

习题597

第6章 特征值的估计99

6.1 特征值的界的估计99

6.2 圆盘定理101

习题6106

第7章 广义逆矩阵108

7.1 广义逆矩阵的基本概念108

7.1.1 矩阵的左逆与右逆108

7.1.2 广义逆矩阵的基本概念110

7.2 矩阵的几种广义逆111

7.2.1 减号逆A-111

7.2.2 自反减号逆A- r116

7.2.3 最小范数广义逆A- m118

7.2.4 最小二乘广义逆A- l120

7.2.5 加号逆A+121

7.3 广义逆在解线性方程组中的应用123

7.3.1 线性方程组求解问题的提法124

7.3.2 相容方程组的通解124

7.3.3 相容方程组的极小范数解126

7.3.4 矛盾方程组的最小二乘解126

7.3.5 线性方程组的最小范数的最小二乘解128

习题7129

附录 利用MATLAB实现矩阵理论的数值计算132

习题参考答案167

参考文献180