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第1章 函数1

1.1 实数集 区间1

1.1.1 集合1

1.1.2 实数集3

1.1.3 区间 邻域4

习题1.16

1.2 函数的概念6

1.2.1 常量与变量7

1.2.2 函数的定义7

1.2.3 函数的表示 分段函数8

1.2.4 函数的几种特性11

习题1.214

1.3 初等函数16

1.3.1 反函数16

1.3.2 基本初等函数18

1.3.3 复合函数21

1.3.4 初等函数22

1.3.5 双曲函数与反双曲函数23

1.3.6 非初等函数举例24

习题1.325

1.4 数学模型与拓展26

1.4.1 建立函数关系举例26

1.4.2 函数概念的形成与发展29

第1章总习题30

第2章 导数与极限32

2.1 导数的概念32

2.1.1 引例32

2.1.2 导数概念35

习题2.139

2.2 极限39

2.2.1 数列极限的定义40

2.2.2 函数极限的定义45

2.2.3 极限的性质53

2.2.4 无穷小与无穷大55

2.2.5 极限的运算法则58

2.2.6 无穷小的比较69

习题2.273

2.3 函数的连续性78

2.3.1 函数连续的概念78

2.3.2 连续函数的运算性质81

2.3.3 初等函数的连续性83

2.3.4 函数的间断点及其分类85

2.3.5 闭区间上连续函数的性质87

习题2.390

2.4 导数的计算92

2.4.1 函数可导与连续的关系92

2.4.2 函数的和、差、积、商的求导法则95

2.4.3 反函数求导法则96

2.4.4 复合函数求导法则（链式法则）98

2.4.5 基本求导公式100

2.4.6 隐函数的导数及对数求导法101

2.4.7 由参数方程确定的函数的导数104

2.4.8 极坐标系下曲线的切线问题106

习题2.4107

2.5 高阶导数110

习题2.5115

2.6 数学模型与拓展116

2.6.1 与连续函数相关的例子116

2.6.2 小课题研讨：机器人设计117

2.6.3 极限概念的形成120

第2章总习题121

第3章 微分学的基本定理124

3.1 微分124

3.1.1 线性近似124

3.1.2 微分127

3.1.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则129

习题3.1131

3.2 微分中值定理133

3.2.1 罗尔中值定理133

3.2.2 拉格朗日中值定理135

3.2.3 柯西中值定理138

习题3.2140

3.3 洛必达法则142

3.3.1 0/0型142

3.3.2 ∞/∞型144

3.3.3 几点注意145

3.3.4 0·∞型与∞-∞型148

3.3.5 1∞型、∞0型及00型149

3.3.6 洛必达法则在求数列极限中的应用150

习题3.3151

3.4 泰勒公式153

3.4.1 泰勒公式153

3.4.2 几个常用函数的泰勒公式158

3.4.3 泰勒公式的应用161

习题3.4164

3.5 数学模型与拓展165

3.5.1 小课题研讨：迭代与动力系统165

3.5.2 拉格朗日插值168

第3章总习题170

第4章 导数的应用172

4.1 函数的单调性、极值与最值172

4.1.1 函数的单调性172

4.1.2 函数的极值174

4.1.3 最大值与最小值178

4.1.4 方程根的个数183

习题4.1184

4.2 函数的凸性与拐点188

4.2.1 凸（凹）函数的概念188

4.2.2 函数凸性的充分条件和必要条件190

4.2.3 凸函数的性质及其几何意义191

4.2.4 拐点194

习题4.2195

4.3 平面曲线的曲率197

4.3.1 曲率的概念197

4.3.2 曲率的计算公式198

4.3.3 曲率半径、曲率中心和曲率圆202

习题4.3204

4.4 渐近线206

4.4.1 引言206

4.4.2 曲线渐近线的定义207

4.4.3 曲线斜渐近线的求法208

4.4.4 函数在无穷远处的线性近似208

4.4.5 函数图形的描绘209

习题4.4211

4.5 相关变化率212

习题4.5214

4.6 方程的近似解216

习题4.6218

4.7 数学模型与拓展219

4.7.1 与微分学应用相关的例219

4.7.2 小课题研讨：“活人炮弹”221

4.7.3 导数在经济学中的应用222

第4章总习题234

第5章 积分237

5.1 定积分的概念237

5.1.1 定积分问题的产生237

5.1.2 定积分的定义及其几何意义240

5.1.3 定积分存在的条件244

习题5.1245

5.2 定积分的性质245

习题5.2251

5.3 微积分基本定理253

5.3.1 两个问题的提出253

5.3.2 微积分第一基本定理255

5.3.3 原函数和不定积分259

5.3.4 微积分第二基本定理263

习题5.3265

5.4 数学模型与拓展267

5.4.1 微积分发展史简介267

第5章总习题268

第6章 积分法271

6.1 不定积分的基本积分法271

6.1.1 不定积分的性质271

6.1.2 不定积分的换元法274

6.1.3 不定积分的分部积分法287

6.1.4 几种特殊类型函数的积分294

习题6.1299

6.2 定积分的基本积分法303

6.2.1 定积分的换元法304

6.2.2 定积分的分部积分法312

习题6.2316

6.3 定积分的数值积分法319

6.3.1 矩形求积方法320

6.3.2 梯形求积方法321

6.3.3 抛物线求积方法324

习题6.3328

6.4 数学模型与拓展329

6.4.1 小课题研讨：极坐标曲线的绕圈周期329

6.4.2 关于积不出函数332

第6章总习题333

第7章 定积分的应用与广义积分336

7.1 定积分的微元法336

7.2 几何应用338

7.2.1 平面图形的面积338

7.2.2 平面曲线的弧长344

7.2.3 立体体积347

7.2.4 旋转体的侧面积354

习题7.2356

7.3 物理应用358

7.3.1 变力沿直线所作的功358

7.3.2 液体对侧面的压力363

7.3.3 引力365

习题7.3366

7.4 广义积分367

7.4.1 广义积分问题的产生367

7.4.2 无穷区间上的广义积分369

7.4.3 无界函数的广义积分373

7.4.4 г（Gamma）函数377

习题7.4378

7.5 数学模型与拓展380

7.5.1 与积分应用有关的例380

7.5.2 小课题研讨：铁路路基施工方案383

7.5.3 函数的平均值385

7.5.4 定积分在经济中的应用386

第7章总习题390

第8章 无穷级数393

8.1 数项级数393

8.1.1 无穷级数的基本概念393

8.1.2 收敛级数的基本性质396

8.1.3 正项级数的性质及其敛散性判别法398

8.1.4 任意项级数的绝对收敛和条件收敛409

8.1.5 交错级数414

习题8.1417

8.2 幂级数420

8.2.1 函数项级数的概念420

8.2.2 幂级数及其收敛域421

8.2.3 幂级数的性质425

习题8.2429

8.3 函数的幂级数展开及其应用431

8.3.1 泰勒级数431

8.3.2 几个初等函数的麦克劳林级数展开式433

8.3.3 函数展开为幂级数举例 间接展开法436

8.3.4 函数的幂级数展开式的应用439

习题8.3443

8.4 数学模型与拓展445

8.4.1 级数求和的经典案例——巴塞尔问题445

第8章总习题446

习题参考答案449