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第1章 复数与复变函数1

1.1 复数1

1.1.1 复数的概念与运算1

1.1.2 复数的几何意义2

1.1.3 复数的模与辐角4

1.1.4 复数的各种表示4

1.1.5 复数的乘幂与方根5

1.1.6 范例6

1.1.7 问题与探索7

1.2 复平面上的点集9

1.2.1 平面点集的基本概念9

1.2.2 复平面上的曲线10

1.2.3 区域的连通性11

1.2.4 点列及其收敛性11

1.2.5 范例11

1.2.6 问题与探索13

1.3 无穷远点与复球面13

1.3.1 概念的引入14

1.3.2 关于C∞的若干注释14

1.3.3 问题与探索15

1.4 复变函数15

1.4.1 复变函数的概念16

1.4.2 复变函数的表示方法16

1.4.3 极限与连续17

1.4.4 范例18

1.4.5 问题与探索18

1.5 背景与历史注记19

第2章 解析函数23

2.1 解析函数概念与C-R条件23

2.1.1 基本概念23

2.1.2 柯西—黎曼(Cauchy—Reimann)条件24

2.1.3 范例26

2.1.4 问题与探索27

2.2 初等单值解析函数28

2.2.1 正整次幂函数w=zn(n为正整数)28

2.2.2 指数函数w=ez29

2.2.3 三角函数29

2.2.4 范例30

2.2.5 问题与探索31

2.3 初等多值函数32

2.3.1 辐角函数w=Argz(z∈C{0})32

2.3.2 对数函数34

2.3.3 幂函数36

2.3.4 一般指数函数和反三角函数38

2.3.5 范例38

2.3.6 问题与探索40

2.4 背景与历史注记41

第3章 复变函数积分46

3.1 复积分概念与性质46

3.1.1 复积分概念46

3.1.2 复积分的存在性与计算方法47

3.1.3 复积分的性质47

3.1.4 范例48

3.1.5 问题与探索50

3.2 柯西积分定理51

3.2.1 定理的建立51

3.2.2 柯西定理的推广52

3.2.3 原函数的存在性及其表示53

3.2.4 范例53

3.2.5 问题与探索54

3.3 柯西积分公式55

3.3.1 公式的引入56

3.3.2 公式的应用56

3.3.3 解析函数与调和函数的关系59

3.3.4 范例60

3.3.5 问题与探索62

3.4 背景与历史注记63

第4章 复级数理论68

4.1 复级数概念和性质68

4.1.1 数项级数及其敛散性68

4.1.2 函数项级数及其一致收敛性69

4.1.3 幂级数71

4.1.4 范例72

4.1.5 问题与探索73

4.2 解析函数的泰勒展式与唯一性定理74

4.2.1 泰勒(Taylor)定理74

4.2.2 零点及其阶76

4.2.3 唯一性定理76

4.2.4 范例77

4.2.5 问题与探索79

4.3 解析函数的罗朗展式与孤立奇点80

4.3.1 双边幂级数及其性质81

4.3.2 罗朗定理82

4.3.3 孤立奇点及其类型分析83

4.3.4 范例86

4.3.5 问题与探索88

4.4 整函数与亚纯函数89

4.4.1 解析函数在点∞的性质89

4.4.2 整函数及其分类91

4.4.3 亚纯函数及其类型91

4.4.4 范例92

4.4.5 问题与探索94

4.5 背景与历史注记95

第5章 残数理论及其应用99

5.1 残数99

5.1.1 残数概念及残数定理99

5.1.2 残数的计算101

5.1.3 无穷远点的残数102

5.1.4 范例103

5.1.5 问题与探索105

5.2 应用残数计算实积分107

5.2.1 ？R(cosθ,sinθ)dθ型积分107

5.2.2 ？dx型积分108

5.2.3 ？dx型积分108

5.2.4 范例109

5.2.5 问题与探索113

5.3 辐角原理与儒歇定理114

5.3.1 辐角原理114

5.3.2 儒歇定理及其应用116

5.3.3 范例118

5.3.4 问题与探索120

5.4 背景与历史注记121

第6章 保形变换124

6.1 解析变换的几何特性与保形变换概念124

6.1.1 解析变换的若干性质124

6.1.2 导数的几何意义与保形变换概念126

6.1.3 范例128

6.1.4 问题与探索130

6.2 线性变换131

6.2.1 线性变换及其分解131

6.2.2 线性变换的四个保持性质133

6.2.3 三个重要的线性变换136

6.2.4 范例138

6.2.5 问题与探索140

6.3 若干初等变换及其应用141

6.3.1 初等函数构成的保形变换142

6.3.2 初等变换的应用举例143

6.3.3 问题与探索145

6.4 黎曼存在定理与边界对应定理146

6.4.1 黎曼存在及唯一性定理146

6.4.2 边界对应定理147

6.5 背景与历史注记149

附录 问题与探索参考解答153

参考文献197