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第五章 多元函数微分学1

5.1 多元函数1

一、邻域1

二、开集与闭集1

三、区域2

四、多元函数的概念4

五、等值线5

六、多元函数的极限5

七、多元函数的连续性8

思考题5.19

习题5.110

5.2 偏导数11

一、偏导数的概念11

二、函数的偏导数与函数连续性的关系14

三、偏导数的几何意义14

四、高阶偏导数15

思考题5.217

习题5.217

5.3 全微分及其应用18

一、全微分的概念18

二、可微的性质19

三、可微的充分条件21

四、全微分在近似计算中的应用22

思考题5.325

习题5.326

5.4 多元复合函数的求导法则27

一、复合函数求导的链式法则27

二、一阶全微分形式的不变性31

三、复合函数的高阶偏导数32

思考题5.434

习题5.435

5.5 隐函数求导法36

一、一个方程的情形37

二、方程组的情形41

思考题5.544

习题5.545

5.6 偏导数在几何上的应用46

一、空间曲线的切线和法平面46

二、空间曲面的切平面和法线49

思考题5.653

习题5.653

5.7 方向导数与梯度54

一、方向导数54

二、梯度57

思考题5.760

习题5.760

5.8 二元函数的泰勒公式61

习题5.864

5.9 多元函数的极值与最大(小)值64

一、无条件极值64

二、有界闭区域上的最大值与最小值68

三、条件极值拉格朗日乘数法70

思考题5.975

习题5.975

5.10 应用实例76

实例一 拐角问题模型76

实例二 最优价格模型77

复习题五79

第六章 多元数量值函数积分学81

6.1 多元数量值函数积分的概念与性质81

一、引例 非均匀物体的质量问题81

二、多元数量值函数积分的概念83

三、多元数量值函数积分的性质85

思考题6.186

习题6.187

6.2 二重积分的计算87

一、二重积分的几何意义88

二、在直角坐标系下计算二重积分89

三、在极坐标系下计算二重积分96

四、二重积分的换元法101

思考题6.2103

习题6.2104

6.3 三重积分的计算106

一、在直角坐标系下计算三重积分106

二、在柱面坐标系下计算三重积分111

三、在球面坐标系下计算三重积分114

四、三重积分的换元法116

思考题6.3118

习题6.3118

6.4 第一类曲线积分的计算120

一、曲线的弧长120

二、第一类曲线积分的计算123

思考题6.4126

习题6.4127

6.5 第一类曲面积分的计算127

一、曲面的面积128

二、第一类曲面积分的计算131

思考题6.5136

习题6.5136

6.6 积分在物理上的应用137

一、重心137

二、转动惯量139

三、引力141

习题6.6144

思考题6.6144

6.7 含参变量的积分145

一、有限区间上含参变量的积分145

二、含参变量广义积分148

习题6.7149

6.8 应用实例150

实例 通讯卫星的电波覆盖地球表面的面积150

复习题六152

7.1 第二类曲线积分154

一、有向曲线154

第七章 多元向量值函数积分学154

二、引例155

三、第二类曲线积分的概念与性质156

四、第二类曲线积分的计算157

五、第二类曲线积分的应用160

思考题7.1162

习题7.1162

7.2 第二类曲面积分163

一、有向曲面(曲面的侧)163

二、引例165

三、第二类曲面积分的概念与性质166

四、第二类曲面积分的计算167

五、第二类曲面积分的应用172

思考题7.2173

习题7.2174

7.3 微积分基本定理的推广175

一、格林公式175

二、高斯公式180

三、斯托克斯公式183

四、微积分基本定理的统一公式187

思考题7.3191

习题7.3192

7.4 曲线积分与路径的无关性193

一、曲线积分与路径无关的条件193

二、全微分方程202

思考题7.4204

习题7.4204

7.5 场论初步205

一、场的概念205

二、通量与散度206

三、环流量与旋度208

四、保守场与势函数209

思考题7.5210

习题7.5210

复习题七211

8.1 常数项级数的概念与性质214

一、常数项级数的概念214

第八章 无穷级数214

二、常数项级数的性质218

三、级数收敛的必要条件221

思考题8.1222

习题8.1222

8.2 常数项级数的判别法223

一、正项级数的判敛法223

二、交错级数的判敛法232

三、绝对收敛与条件收敛235

思考题8.2238

习题8.2238

一、函数项级数的一般概念239

8.3 幂级数239

二、幂级数及其收敛区间241

三、幂级数的运算245

思考题8.3249

习题8.3250

8.4 函数展开成幂级数250

一、泰勒级数250

二、函数展开成幂级数253

思考题8.4259

习题8.4259

一、用幂级数表示函数260

二、欧拉公式260

8.5 幂级数的应用260

三、微分方程的幂级数解262

习题8.5265

8.6 傅里叶级数265

一、三角级数265

二、三角函数系的正交性266

三、欧拉-傅里叶系数公式267

四、傅里叶级数的收敛问题268

思考题8.6273

习题8.6273

8.7 正弦级数与余弦级数274

一、奇偶函数的傅里叶级数274

二、函数展开成正弦级数与余弦级数276

思考题8.7278

习题8.7278

8.8 任意周期函数的傅里叶级数279

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数279

二、傅里叶级数的复数形式283

三、傅里叶积分286

习题8.8288

8.9 应用实例289

实例 银行存款问题289

复习题八291

习题答案293

参考书目314