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第一章 矢函数1

1 矢代数复习1

2 直线和平面复习5

3 纯量变数的矢函数与曲线的参数表示7

4 矢函数的极限．连续性9

5 矢函数的微导．曲线的切线11

6 几种具有特殊性质的矢函数14

7 关于矢函数的泰勒公式16

8矢函数的积分18

第二章 曲线的基本三棱形20

1 切线和法面．寻常点20

2 密切面与副法线22

3 主法线和从切面．基本三棱形25

4 弧长26

5 自然参数．基本矢30

6 曲线间的切触阶32

7 曲线和平面间的切触阶34

结束语36

第三章 空间曲线论的基本公式38

1 基本公式的推导38

2 曲率44

3 挠率46

4 曲线在一点邻近的结构48

5 基本公式在运动学里的意义53

6 密切圆56

7 密切球面57

8微分几何的任务.有关曲线的不变量62

结束语66

第四章 曲线论的基本定理68

1 平面曲线论的基本公式68

2 平面曲线的相对曲率70

3 平面曲线论的基本定理72

4 空间曲线论的基本定理77

5 空间曲线论的唯一存在定理79

6一般柱面螺线83

7 贝特朗曲线87

结束语95

第五章 可展曲面初论97

1 曲面的参数表示97

2 曲面的寻常点100

3 切面与法线102

4 直纹面与可展曲面104

5 可展曲面的分类108

6 曲线的法线所构成的可展曲面110

7 曲线的渐伸线与渐缩线114

7.1 求一条曲线的渐伸线114

7.2 求一条曲线的渐缩线115

8 可展曲面作为单参数平面族的包络面117

8.1 特征线与包络面118

8.2 特征点与脊线120

9 曲线的法面族123

10 曲线的从切面族124

结束语126

第六章 曲面的第一基本齐式128

1 第一基本齐式．曲面上曲线弧长128

2 曲面上曲线的交角130

3 曲面的面积136

4 曲面的等距变换．曲面的内在性质139

5 可展曲面在平面上的贴合145

6 等角变换．等面变换147

结束语151

第七章 曲面上曲线的曲率．一些重要的曲线153

1 第二基本齐式153

2 法曲率159

2.1 曲面上曲线的曲率159

2.2 法曲率160

2.3 默尼耶（Meusnier）定理161

3 平面和球面的特征162

4 主方向与主曲率165

5 曲率线169

6 关于三重正交曲面系的迪潘定理171

7 欧拉公式173

8 全曲率和中曲率．曲面在一点邻近形状的分析175

9 中曲率为零的点．小积曲面举例180

10 密切抛物面．迪潘标线183

11 曲率线的特征187

11.1 罗德里格斯（Rodrigues，1816）方程187

11.2 曲率线的几何特征188

11.3 约阿希姆斯塔尔（Joachimsthal，1846）定理189

12 渐近曲线193

13 可展曲面作为全曲率恒等于零的曲面196

14 全曲率作为等距不变量．可展曲面作为可与平面贴合的曲面198

15 共轭方向和共轭曲线网201

16曲面的球面表示．第三基本齐式204

结束语209

第八章 曲面论的基本定理．曲面的内在几何212

1 曲面论的基本公式212

2 曲面论的基本方程215

3 曲面论的基本定理217

4 曲面论的唯一存在定理220

5 短程曲率223

5.1 短程曲率的定义223

5.2 短程曲率的一个几何意义224

5 3 短程曲率公式225

5.4 曲面上一条曲线在平面上的伸展226

6 短程线228

6.1 短程线的一些最简单的性质和有关短程线的一些最直接的结论228

6.2 短程线的微分方程230

6.3 短程平行坐标231

6.4 短程线作为曲面上两点的最短连线233

7 短程挠率235

7.1 短程线的挠率235

7.2 短程挠率236

7.3 曲面上曲线的一种动标三棱形238

8 具有常数全曲率的曲面239

9 具有常数全曲率的回转曲面243

10 伪球面与伪球率曲面在平面上的等角表示248

10.1 伪球面在平面上的表示248

10.2 伪球率曲面在平面上的表示250

10.3 伪球率曲面上的短程线252

10.4 伪球率曲面上的短程圆256

11 曲面上矢量的平移259

12 可展曲面的又一特征．全曲率的一项几何意义262

13 高斯-博内公式267

结束语272

附录Ⅰ 单参数曲面族276

1 用方程F（x，y，z）=0表示的曲面276

2 单参数曲面族的包络面．特征线278

3 单参数曲面族的脊线．特征点281

附录Ⅱ 复数的引进．从迷向矢到小积曲面284

1 迷向矢284

1.1 三维复空间284

1.2 迷向矢．迷向直线．迷向平面285

1.3 迷向锥面286

1.4 迷向矢与全等变换287

1.5 迷向矢与垂直概念288

1.6 迷向矢的参数表示289

2 迷向曲线291

3 曲面上的迷向曲线293

4 正方参数．等角变换298

5 小积曲面303

5.1 实小积曲面的显式表示303

5.2 小积曲面作为平移曲面305

5.3 复小积曲面的显式表示307

5.4 复小积曲面里嵌有实小积曲面的条件309

5.5 实小积曲面上的渐近曲线和曲率线311

5.6 连带小积曲面和伴随小积曲面313

附录Ⅲ 张量记法在曲面论中的运用317

1 曲面论的基本公式317

1.1 新记号的引进317

1.2 高斯公式319

1.3 魏因加滕公式321

2 曲面论的基本方程322

2.1 基本方程的推导322

2.2 马伊纳尔迪-科达齐方程323

2.3 高斯方程324

3 曲面论的唯一存在定理326

4 短程曲率与短程线330

5 曲面上矢量的平移331

6 曲面上的矢量和张量332

附录Ⅳ 变分法中的两个命题338

1 小积曲面的极小性质338

2 短程线的极小性质340

附录Ⅴ 关于微分方程组的几个定理345

1 一阶线性齐次常微分方程组345

2 含一个参变数的一阶线性齐次常微分方程组348

3 一阶线性齐次偏微分方程组351

人名和译名索引357

内容索引358